حل فعالیت و کاردرکلاس صفحه 9 حسابان یازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۱ صفحه ۹ حسابان یازدهم سلام به شما! این فعالیت به خوبی نشان می‌دهد که چگونه می‌توانیم از روی **ریشه‌ها**، به **معادله درجه دوم** برسیم. این فرآیند برعکس حل معادله است و بر اساس خاصیت **صفر شدن حاصل‌ضرب** بنا شده است. ### توضیح مراحل حل هدف: تشکیل معادله درجه دومی که ریشه‌های آن $x_۱ = ۲$ و $x_۲ = -۳$ باشند. --- #### گام ۱: نوشتن ریشه‌ها به صورت عامل‌های صفرساز * **شروع با ریشه‌ها:** $$\begin{cases} x = ۲ \\ x = -۳ \end{cases}$$ * **مفهوم:** اگر عددی ریشه یک معادله باشد، یعنی با جایگذاری آن در معادله، حاصل صفر می‌شود. ما می‌دانیم که وقتی $x=۲$ یا $x=-۳$ باشد، عبارت ما باید صفر شود. پس باید این ریشه‌ها را طوری به سمت چپ ببریم که عامل‌های (فاکتورهای) معادله را بسازند. * **ساخت عامل‌ها:** $$\begin{cases} x - ۲ = ۰ \quad (\text{وقتی } x=۲ \text{ باشد، این عبارت صفر است}) \\ x + ۳ = ۰ \quad (\text{وقتی } x=-۳ \text{ باشد، این عبارت صفر است}) \end{cases}$$ --- #### گام ۲: تشکیل معادله با ضرب عوامل * **اصل ضرب صفر:** اگر حاصل‌ضرب چند عبارت صفر باشد، حداقل یکی از آن عبارت‌ها باید صفر باشد. چون می‌خواهیم معادله‌ای داشته باشیم که در آن، $x-۲$ یا $x+۳$ (یا هر دو) صفر شوند، پس حاصل‌ضرب آن‌ها را برابر صفر قرار می‌دهیم: $$(x-۲)(x+۳) = ۰$$ * **مفهوم:** این معادله تنها زمانی برقرار است که $x=۲$ (چون عامل اول صفر می‌شود) یا $x=-۳$ (چون عامل دوم صفر می‌شود). پس این معادله، دقیقاً ریشه‌های مورد نظر ما را دارد. --- #### گام ۳: بسط دادن و استانداردسازی معادله * **ضرب دو عامل:** برای به دست آوردن شکل استاندارد ($ax^۲ + bx + c = ۰$)، باید پرانتزها را در هم ضرب (پخش) کنیم: $$(x-۲)(x+۳) = x(x+۳) - ۲(x+۳)$$ $$= x^۲ + ۳x - ۲x - ۶$$ $$= x^۲ + (۳-۲)x - ۶$$ $$= x^۲ + x - ۶$$ * **معادله نهایی:** $$x^۲ + x - ۶ = ۰$$ **نتیجه**: این معادله درجه دوم، همان معادله‌ای است که ریشه‌های آن ۲ و $-۳$ هستند.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین 2 صفحه ۹ حسابان یازدهم این تمرین در واقع **فرمول کلی** تشکیل یک معادله درجه دوم را بر اساس ریشه‌های دلخواه $\alpha$ و $\beta$ استخراج می‌کند. همانطور که در مثال‌های قبل دیدیم، بهترین روش، استفاده از **جمع** و **ضرب** ریشه‌ها است. --- ### گام اول: محاسبه جمع ریشه‌ها ($S$) جمع ریشه‌ها $S$ به سادگی از جمع دو ریشه $\alpha$ و $\beta$ به دست می‌آید: $$\mathbf{S = \alpha + \beta}$$ ### گام دوم: محاسبه ضرب ریشه‌ها ($P$) ضرب ریشه‌ها $P$ به سادگی از ضرب دو ریشه $\alpha$ و $\beta$ به دست می‌آید: $$\mathbf{P = \alpha \beta}$$ ### گام سوم: تشکیل معادله فرمول استاندارد برای تشکیل معادله درجه دوم با استفاده از جمع ($S$) و ضرب ($P$) ریشه‌ها به صورت زیر است: $$x^۲ - (\text{جمع ریشه‌ها}) x + (\text{ضرب ریشه‌ها}) = ۰$$ $$x^۲ - Sx + P = ۰$$ حالا مقادیر $S$ و $P$ را بر اساس $\alpha$ و $\beta$ جایگذاری می‌کنیم: $$\mathbf{x^۲ - (\alpha + \beta)x + (\alpha \beta) = ۰}$$ **نتیجه‌گیری مهم**: این فرمول **مهم‌ترین** ابزار برای تشکیل معادله درجه دوم است. اگر هر دو ریشه ($\alpha$ و $\beta$) را داشته باشیم، با استفاده از آن می‌توانیم به سادگی معادله مورد نظر را بسازیم.

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس صفحه ۹ حسابان یازدهم آفرین! این سوال ریشه‌هایی با ساختار رادیکالی دارد که بهترین روش برای تشکیل معادله آن، استفاده از **روابط بین ریشه‌ها و ضرایب** است. فرمول کلی تشکیل معادله با استفاده از جمع ($S$) و ضرب ($P$) ریشه‌ها به صورت زیر است: $$\mathbf{x^۲ - Sx + P = ۰}$$ ### گام اول: محاسبه جمع ریشه‌ها ($S$) ریشه‌ها را $x_۱ = ۲ + \sqrt{۳}$ و $x_۲ = ۲ - \sqrt{۳}$ در نظر می‌گیریم. $$S = x_۱ + x_۲ = (۲ + \sqrt{۳}) + (۲ - \sqrt{۳})$$ جمله $\sqrt{۳}$ و $-\sqrt{۳}$ یکدیگر را خنثی می‌کنند: $$S = ۲ + ۲$$ $$\mathbf{S = ۴}$$ ### گام دوم: محاسبه ضرب ریشه‌ها ($P$) $$P = x_۱ x_۲ = (۲ + \sqrt{۳})(۲ - \sqrt{۳})$$ از **اتحاد مزدوج** استفاده می‌کنیم: $(a+b)(a-b) = a^۲ - b^۲$. در اینجا $a=۲$ و $b=\sqrt{۳}$. $$P = (۲)^۲ - (\sqrt{۳})^۲$$ $$P = ۴ - ۳$$ $$\mathbf{P = ۱}$$ ### گام سوم: تشکیل معادله مقادیر $S=۴$ و $P=۱$ را در فرمول استاندارد تشکیل معادله جایگذاری می‌کنیم: $$x^۲ - Sx + P = ۰$$ $$\mathbf{x^۲ - ۴x + ۱ = ۰}$$ **نتیجه**: معادله درجه دوم مورد نظر $x^۲ - ۴x + ۱ = ۰$ است.